向量投影是线性代数中的重要概念，它展示了向量在另一向量方向上的分量。让我们深入理解标量投影和向量投影，并通过几何验证和实例计算来确认相关公式的正确性。
标量投影：当我们谈论向量 \\(\\mathbf{a}\\) 在向量 \\(\\mathbf{b}\\) 方向上的投影长度时，我们实际上是在寻找一个标量，这个标量表示向量 \\(\\mathbf{a}\\) 在 \\(\\mathbf{b}\\) 方向上的“大小”。这个标量投影的长度可以通过公式 \\(|\\mathbf{a}| \\cos \\theta\\) 来计算，其中 \\(\\theta\\) 是 \\(\\mathbf{a}\\) 和 \\(\\mathbf{b}\\) 之间的夹角。利用点积公式 \\(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = |\\mathbf{a}| |\\mathbf{b}| \\cos \\theta\\)，我们可以将其转化为 \\(\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{|\\mathbf{b}|}\\)。
向量投影：与标量投影不同，向量投影保留了向量在特定方向上的方向和长度信息。它是通过将标量投影与 \\(\\mathbf{b}\\) 方向的单位向量相乘来获得的。具体公式为：\\(\\left( \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{|\\mathbf{b}|} \\right) \\cdot \\frac{\\mathbf{b}}{|\\mathbf{b}|} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{|\\mathbf{b}|^2} \\mathbf{b}\\)。这里，\\(|\\mathbf{b}|^2\\) 可以表示为 \\(\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{b}\\)，因此向量投影公式可以简化为：\\text{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\left( \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{b}} \\right) \\mathbf{b}。
通过几何验证，我们发现这个公式正确地描述了向量在另一向量方向上的投影。让我们通过一个实例来计算向量投影。假设有一个向量 \\(\\mathbf{a} = (3, 4)\\) 和另一个向量 \\(\\mathbf{b} = (1, 0)\\)。根据公式，\\(\\mathbf{a}\\) 在 \\(\\mathbf{b}\\) 上的投影为 \\((3, 0)\\)，这与我们实际计算的结果相符。
我们得到的最终公式为：\\text{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\left( \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{b}} \\right) \\mathbf{b}，这个公式准确地描述了向量在另一向量方向上的投影。无论是在理论学习还是实际应用中，这一公式都是非常重要的。
